Обратная т виета. Формула теоремы виета, и примеры решения. Теорема Виета для кубического уравнения

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

История

Эти тождества неявно присутствуют в работах Франсуа Виета . Однако Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем виде. :138-139

Формулировка

Если c 1 , c 2 , … , c n {\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}} - корни многочлена

(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} выражаются в виде симметрических многочленов от корней , а именно:

Иначе говоря, (− 1) k a k {\displaystyle (-1)^{k}a_{k}} равно сумме всех возможных произведений из k {\displaystyle k} корней.

Если старший коэффициент многочлена a 0 ≠ 1 {\displaystyle a_{0}\neq 1} , то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на a 0 {\displaystyle a_{0}} (это не влияет на значение корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленный.

Доказательство

Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1}

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x {\displaystyle x} (теорема единственности), получаем формулы Виета.

Примеры

Квадратное уравнение

Если x 1 {\displaystyle x_{1}} и x 2 {\displaystyle x_{2}} - корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0} ,то

В частном случае, если a = 1 {\displaystyle a=1} (приведенная форма x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{2}+px+q=0} ), то

Кубическое уравнение

Если x 1 , x 2 , x 3 {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}} - корни кубического уравнения p (x) = a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} , то

Список литературы

1. 
   Алгебра: учебник для учащихся 9 класса с углублённым изучением математики/ Н.Я.Виленкин, А.Н.Виленкин, Г.С.Сурвилло и др.
2. 
   Бабинская, И. Л. Задачи математических олимпиад. / И. Л. Бабинская – М.: Просвещение, 1975.
3. 
   Болгарский Б. В. Очерки по истории математики/ Б. В. Болгарский. – Минск, 1979.
4. 
   Математическая энциклопедия / т.2, под ред. Виноградова И.М. М.: Советская энциклопедия, 1979г.
5. 
   Перельман, Я.И. Занимательная алгебра. / Я. И. Перельман – М.: Наука, 1976г.
6. 
   Школьная энциклопедия. Математика. / под редакцией Никольский С. М. – Москва: Издательство «Большая российская энциклопедия», 1996.
7. 
   Элективные ориентационные курсы и другие средства профильной ориентации в предпрофильнной подготовке школьников. Учебно-методическое пособие / Науч. ред. С. Н. Чистяков. М.: АПК и ПРО, 2003.

Сайт "Спроси Алену", Веб-сайт EqWorld, http://alexlarin.narod.ru/Stats/pavlova1.html

I. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

x 1 +x 2 =-p; x 1 ∙x 2 =q.

Найти корни приведенного квадратного уравнения, используя теорему Виета.

Пример 1) x 2 -x-30=0. Это приведенное квадратное уравнение ( x 2 +px+q=0) , второй коэффициент p=-1 , а свободный член q=-30. Сначала убедимся, что данное уравнение имеет корни, и что корни (если они есть) будут выражаться целыми числами. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.

Находим дискриминант D =b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121=11 2 .

Теперь по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. (-p ), а произведение равно свободному члену, т.е. (q ). Тогда:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Нам надо подобрать такие два числа, чтобы их произведение было равно -30 , а сумма – единице . Это числа -5 и 6 . Ответ: -5; 6.

Пример 2) x 2 +6x+8=0. Имеем приведенное квадратное уравнение со вторым коэффициентом р=6 и свободным членом q=8 . Убедимся, что есть целочисленные корни. Найдем дискриминант D 1 D 1 =3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискриминант D 1 является полным квадратом числа 1 , значит, корни данного уравнения являются целыми числами. Подберем корни по теореме Виета: сумма корней равна –р=-6 , а произведение корней равно q=8 . Это числа -4 и -2 .

На самом деле: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Ответ: -4; -2.

Пример 3) x 2 +2x-4=0 . В этом приведенном квадратном уравнении второй коэффициент р=2 , а свободный член q=-4 . Найдем дискриминант D 1 , так как второй коэффициент – четное число. D 1 =1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискриминант не является полным квадратом числа, поэтому, делаем вывод : корни данного уравнения не являются целыми числами и найти их по теореме Виета нельзя. Значит, решим данное уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам ). Получаем:

Пример 4). Составьте квадратное уравнение по его корням, если x 1 =-7, x 2 =4.

Решение. Искомое уравнение запишется в виде: x 2 +px+q=0 , причем, на основании теоремы Виета –p=x 1 +x 2 =-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2 =-7∙4=-28 . Тогда уравнение примет вид: x 2 +3x-28=0.

Пример 5). Составьте квадратное уравнение по его корням, если:

II. Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.

Сумма корней равна минус b , деленному на а , произведение корней равно с , деленному на

Возвратные уравнения.

Уравнение вида

a n x n + a n – 1 x n – 1 + … +a 1 x + a 0 = 0

называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, то есть если

a n – 1 = a k , при k = 0, 1, …, n.

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0,

где a, b и c - некоторые числа, причём a ¹ 0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:

• разделить левую и правую части уравнения на x 2 . При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при a ¹ 0;
• группировкой привести полученное уравнение к виду

a(x 2 + 1 / x 2) + b(x + 1 / x) + c = 0;

• ввести новую переменную t = x + 1 / x, тогда выполнено

t 2 = x 2 + 2 + 1 / x 2 , то есть x 2 + 1 / x 2 = t 2 – 2;

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:

at 2 + bt + c – 2a = 0;

• решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения.

Возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой

Возвратное уравнение нечётной степени обязательно имеет корень x= -1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен x + 1, приводится к возвратному уравнению чётной степени.

Пример 4.21. Рассмотрим, например, возвратное уравнение пятой степени

ax 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + a = 0

Легко видеть, что x = – 1 является корнем этого уравнения, а потому по теореме Безу многочлен в левой части уравнения делится на x + 1. В результате такого деления получится возвратное уравнение четвёртой степени.

Довольно часто в процессе решения задач вступительных экзаменов возникают рациональные уравнения степени выше второй, которые не удаётся решить с помощью очевидной замены переменной. В этом случае попытайтесь отгадать какой-нибудь корень уравнения. Если попытка окажется успешной, то Вы воспользуетесь следствием 1 теоремы Безу и понизите на единицу степень исходного уравнения. “Кандидатов” в корни многочлена с целочисленными коэффициентами следует искать среди делителей свободного члена этого многочлена. Если же попытка угадать корни не удалась, то, возможно, Вы избрали “не тот” метод решения, и существует иной метод, реализация которого не требует решения уравнения третьей или большей степени.

Пусть многочлен P (x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + … + a n

имеет n различных корней X 1 , X 2 , …, X n . В этом случае он имеет разложение на множители вида

a 0 x n + a 1 x n – 1 + … + a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n).

Разделим обе части этого равенства на a 0 ¹ 0 и раскроем скобки. Получим равенство

X n + (a 1 / a 0)x n – 1 + … + (a n / a 0) =

X n – (x 1 + x 2 + … +x n)x n – 1 + (x 1 x 2 +x 1 x 3 + … +x n-1 x n)x n – 2 +

+ … + (-1) n x 1 x 2 …x n .

Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняются равенства

x 1 + x 2 + … + x n = -a 1 / a 0 ,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + … + x n – 1 x n = a 2 / a 0 ,

…………………….

x 1 x 2 × … × x n = (-1) n a n / a 0 .

Пример 5.22. Напишем кубическое уравнение, корни которого являются квадратами корней уравнения x 3 – 3x 2 + 7x + 5 = 0.

Решение. Обозначим корни заданного уравнения через x 1 , x 2 и x 3 . Тогда по формулам Виета имеем

s 1 = x 1 + x 2 +x 3 = 3,

s 2 = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 7,

s 3 = x 1 x 2 x 3 = – 5.

Корни искомого уравнения обозначим буквами y 1 , y 2 , y 3 , а его коэффициенты - буквами b 1 , b 2 , b 3 , положив коэффициент при y3 равным 1. По условию должны выполняться равенства y 1 = x 1 2 , y 2 = x 2 2 , y 3 = x 3 2 и поэтому

b 1 = – (y 1 + y 2 + y 3) = – (x 1 2 + x 2 2 + x 3 2),

b 2 = y 1 y 2 + y 1 y 3 + y 2 y 3 = x 1 2 x 2 2 + x 1 2 x 3 2 + x 2 2 x 3 2 ,

b 3 = – y 1 y 2 y 3 = – x 1 2 x 2 2 x 3 2 .

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = (x 1 + x 2 +x 3) 2 – 2(x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3) = s 1 2 - 2s 2 = 3 2 – 2× 7 = – 5,

x 1 2 x 2 2 + x 1 2 x 3 2 + x 2 2 x 3 2 = (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3) 2 – 2x 1 x 2 x 3 (x 1 + x 2 +x 3)= s 2 2 – 2s 1 s 3 = = 7 2 – 2× 3× (– 5)= 79,

x 1 2 x 2 2 x 3 2 = (x 1 x 2 x 3) 2 = s 3 2 = 25.

Значит, b 1 = 5, b 2 = 79, b 3 = – 25, и потому искомое уравнение имеет вид

y 3 + 5y 2 + 79y – 25 = 0.

Ответ: y 3 + 5y 2 + 79y – 25 = 0.